User:PegasusRoe/兩平面向量所夾面積

假設我們要計算由

${\vec {u}}={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}$ 與 ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}$

所圍成的平行四邊形面積（有向面積），我們可以選擇將 ${\vec {v}}$ 分解成：

${\vec {v}}={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}$

並計算出 $y$ 的大小，這樣我們就可以利用「底×高」算出平行四邊形的面積。

計算 y

如果我們將

${\vec {v}}$ 與 ${\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}$

作內積，則我們可以得到：

${\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}=\left(x{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}\right)\cdot {\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}$

$ad-bc=y\left(a^{2}+b^{2}\right)$

如果我們假設：

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

則：

$y={\frac {\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}{r^{2}}}$

（注意：y 有正負號）

計算有向面積

利用「底×高」，我們可以得到：

$r\cdot yr=yr^{2}={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}$