User:Guram berishvili

გალუას თანადობა

გალუას თანადობის მიზანია ერთი სტრუქტურის ობიექტს შეუსაბამოს მეორე სტრუქტურის ობიექტი, რათა პირველი დაახასიათოს მეორის საშუალებით. ასეთივე იდეაა როდესაც კოორდინატების შემოტანით გეომეტრიულ ობიექტს ვუთანადებთ ალგებრულ განტოლებას, რათა გეომეტრიული ამოცანა ალგებრის საშუალებით გადავწყვიტოთ. ამგვარი მეთოდი ფართოდ გამოიყენება ალგებრულ ტოპოლოგიაში, რომლის შემდგომი განზოგადოებაა კატეგორიათა თეორიაც.

დალაგებული სიმრავლე და მორფიზმი

ამბობენ ორი სიმრავლის ელემენტთა შორის მოცემულია მიმართება, თუ გარკვეულია ამ სიმრავლეთა რომელი წყვილია ერთმანთთან მიმართებაში და რომელი არა. მიმართება წარმოგვიდგება როგორც სიმრავლეთა ნამრავლის ერთმანეთთან მიმართებაში მყოფ ელემნტთა წყვილების ქვესიმრავლე R ⊂ X × Y.

მაგალითი თუ X-იც და Y-იც ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეა მეტობა მიმართებაა. 2 მიმართებაშია 5-თან და არ არის მიმართებაში 1-თან. თავის მხრივ 1 ყველა ნატურალურ რიცხვთან მიმართებაშია.

მაგალითი თუ X-იც და Y-იც ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეა, გაყოფადობა მიმართების მაგალითია. 4 მიმართებაშია 2-თან, ანუ 4 იყოფა 2-ზე. 4 არ არის მიმართებაში 3-თან და არც ერთ ნატურალურ რიცხვთან 2-ის, 4-ის და 1-ის გარდა.

მაგალითი X იყოს რაიმე სიმრავლე, ხოლო Y მის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე. X-ის ელემენტი ეკუთვნის Y-ის ელემენტს, ანუ X-ის ქვესიმრავლეს, არის X-სა და Y-ს შორის მიმართება.

განსაზღვრება დალგებულ სიმრავლეს ვუწოდებთ სიმრავლეს მიმართებით, ≤, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს - x ≤ x ყოველი x-სათვის - თუ x ≤ y და y ≤ z, მაშინ x ≤ z - თუ x ≤ y და y ≤ x, მაშინ x = y

ჩვეულებრივ ხმარობენ ტერმინს "ნაწილობრივ დალაგებული", ხოლო დალაგებულს უწოდებენ სავსებით დალაგებულს, ანუ სიმრავლეს რომელშიც ყოველი ორი ელემენტისათვის სამართლიანია ან x ≤ y ან y ≤ x.

მაგალითი სამ პირველ მაგალითში განხილული მიმართებები დალაგებაა.

განსაზღვრება ასახვას f: A → B ორ დალაგებულ სიმრავლეს შორის ვუწოდოთ მონოტონური თუ ის ინახავს დალაგებას, ანუ x ≤ y ⇒ fx ≤ fy მაგალითი ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის თავის თავში იგიური ასახვა იქნება ზემოთ განხილული ორი დალაგების მონოტონური ასახვა, გაყოფით განმარტებული დალაგებიდან ჩვეულებრივი დალაგებისაკენ.

მონოტონურ ასახვას ასევე უწოდებენ კოვარიანტულ ასახვას, რადგან ის ინახავს მიმართულებას. გარდა მონოტონური ასახვისა სასარგებლოა ასახვის განხილვაც, რომელიც დალაგებას შეაბრუნებს x ≤ y ⇒ fx ≥ fy ამგვარ ასახვას უწოდებენ კონტრავარიანტულ ასახვას, ანუ მიმართულების შემბრუნებელ ასახვას. კონტრავარიანტული ასახვის მაგივრად შეიძლება ერთ ერთ სიმრავლეში მიმართება შევაბრუნოთ და განვიხილოთ ამის შედეგად წარმოქმნილი კოვარიანტული ასახვა. ეს ორი მიდგომა სავსებით ექვივალენტურია, ერთი და იგივე შედეგს იძლევა.

მაგალითი ქვესიმრავლეთა სიმრავლის თავის თავში ასახვა, რომელიც ქვესიმრავლეს მის დამატებას შეუსაბამებს კონტრავარიანტული ასახვის ბუნებრივი მაგალითია.

შეუღლებული ასახვები

განსაზღვრება დალაგებულ სიმრავლეთა მონოტონურ ასახვებს f: A → B, g: B → A ვუწოდებთ შეუღლებულს თუ სრულდება პირობები a ≤ gfa fgb ≤ b

თეორემა თუ f: A → B, g: B → A შეუღლებული ასახვებია, მაშინ fgfa = fa gfgb = gb მტკიცება რადგან a ≤ gfa, მონოტონურობის გამო fa ≥ fgfa. მაგრამ თავის მხრივ fa ≤ fgfa. აქედან ტოლობა fgfa = fa. ასევე მტკიცდება მეორე ტოლობაც.

თეორემა თუ f: A → B, g: B → A შეუღლებული ასახვებია, მაშინ a ≤ gb ⇔ fa ≤ b მტკიცება a ≤ gb ⇒ fa ≤ fgb ⇒ fa ≤ fgb ≤ b ⇒ fa ≤ b fa ≤ b ⇒ gfa ≤ gb ⇒ a ≤ gfa ≤ gb ⇒ a ≤ gb

სამართლიანია შებრუნებული თეორემაც

თეორემა თუ ორ სიმრავლეს შორის განმარტებულია ასახვები f: A → B და g: B → A პირობით a ≤ gb ⇔ fa ≤ b მაშინ ეს ასახვები შეუღლებული ასახვებია მტკიცება ჯერ fa ≤ fa ⇒ a ≤ gfa gb ≤ gb ⇒ fgb ≤ b სამართლიანია მონოტონურობაც a ≤ a' ⇒ a ≤ a' ≤ gfa' ⇒ a ≤ gfa' ⇒ fa ≤ fa' b ≤ b' ⇒ fgb ≤ b ≤ b' ⇒ fgb ≤ b' ⇒ gb ≤ gb' გალუას თანადობა

ვთქვათ მოცემულია დალაგებული სიმრავლეების A, B შეუღლებული ასახვები f: A → B, g: B → A. თუ სიმრავლე B-ში დალაგებას შევაბრუნებთ იგივე ასახვები გახდება კონტრავარიანტული, ხოლო შეუღლების პირობები გამოიყურება შემდეგნაირად a ≤ gfa b ≤ fgb ამგვარად წარმოდგენილ ვითარებას, ჩვეულებრივ, გალუას თანადობას უწოდებენ. გალუას თანადობა არის შეუღლებული ასახვების კონტრავარიანტული ანალოგი.

მაგალითი ზემოთ მოტანილ მაგალითში განსაზღვრული ასახვა თავის თავის მიმართ გალუას თანადობაა.

მაგალითი ვთქვათ მოცემულია სიმრავლური ასახვა f: X → Y. სიმრავლე A იყოს X-ის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე ჩადგმის დალაგებით, ხოლო სიმრავლე B იყოს Y-ის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე იმავე დალაგებით. ასახვას f: A → B ელემენტი a ∈ A, ანუ X-ის ქვესიმრავლე, a ⊂ X, გადაჰქონდეს Y-ის ქვესიმრავლეში fa ⊂ Y, a-ს ანასახი. ხოლო ასახვა g: B → A იყოს წინასახის აღება, ანუ gb = f-b. ორივე ეს ასახვა კოვარიანტული ასახვებია, ანუ დალაგებას ინახავს. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ასახვები შეუღლებულია. მეტიც, f ∘ g: B → B იგიური ასახვაა. ამ ასახვათა კომპოზიციები დამატებასთან (მაგალითი) გალუას თანადობა იქნება.

სიმრავლეთა წყვილზე გალუას თანადობის წარმოშობა შესაძლოა სხვადასხვა საშუალებებით. ერთ ერთი ასეთი საშუალებაა მიმართება.

ვთქვათ ორ სიმრავლეს X და Y-ს შორის მოცემულია მიმართება, R ⊂ X × Y. ეს მიმართება აჩენს გალუას თანადობას X-ის ჩართვის მიმართ დალაგებულ ქვესიმრავლეთა სიმრავლე A-სა და Y-ის ჩართვის მიმართ დალაგებულ ქვესიმრავლეთა სიმრავლე B-ს შორის. f: A → B და g: B → A. თუ a არის A-ს ელემენტი, ანუ X-ის ქვესიმრავლე, a ⊂ X, მაშინ fa იქნება Y-ის ქვესიმრავლე ყველა იმ ელემენტთა, რომელიც მიმართებაშია a-ს ყველა ელემენტთან.

y ∈ fa ⇔ ∀x ∈ a (x, y) ∈ R ასევე განიმარტება gb x ∈ gb ⇔ ∀y ∈ b (x, y) ∈ R თეორემა აღწერილი ასახვები გალუას თანადობაა

მტკიცება ასახვები კონტრავარიანტულია. მართლაც, თუ a ⊂ a' და y ∈ fa', მაშინ ∀x ∈ a' (x, y) ∈ R და მათ შორის a-ს ყველა ელემენტისათვის. ასე რომ fa' ⊂ fa. ასევე ასახვა g-სათვის. თუ x ∈ a და y ∈ fa, მაშინ (x, y) ∈ R, საიდანაც გამოდის, რომ a ⊂ gfa. ანალოგიურად ასახვა g-სათვის.

გალუას თანადობით განსაზღვრული მიმართება

ჩვენ ვნახეთ რომ მიმართება წარმოშობს გალუას თანადობას ქვესიმრავლეთა სიმრავლეებზე. პირიქითაც თუ მოცემულია გალუას თანადობა f: A → B, g: B → A შეგვიძლია განვიხილოთ ამავე სიმრავლეებზე მიმართება (x, y) ∈ R ⇔ x < fy ან მიმართება (x, y) ∈ R ⇔ gx > y რაც იგივე მიმართებაა ზემოთ მოტანილი თეორემის ანალოგის ძალით. თვით სიმრავლეები A და B შეგვიძლია ჩავდგათ თავის ქვესიმრავლეთა სიმრავლეში შემდეგნაირად: A-ს ყოველ ელემენტს შევუსაბამოთ მასზე ნაკლებთა ქვესიმრავლე, ასევე B-ში. თეორემა აგებული მიმართებით ქვესიმრავლეთა სიმრავლეზე გალუას თანადობის გადმოტანა A, B-ზე თავდაპირველი თანადობაა

მტკიცება თუ y < fa, მაშინ (a, y) ∈ R. ასევე (a, y) ∈ R ⇒ fa > y. ანუ a-ს შესაბამის ქვესიმრავლეს ეთანადება fa-ს შესაბამისი ქვესიმრავლე. ასევე ასახვა g-ისათვის.

საბოლოოდ მივიღეთ, რომ მიმართება ექვივალენტურია გალუას თანადობის.

გალუას თანადობით გამოწვეული ჩაკეტვა

ვთქვათ A და B დალაგებული სიმრავლეებია, ხოლო ასახვები f: A → B, g: B → A გალუას თანადობაა. რადგან gfgfa = gfa და, სათანადოდ, fgfgb = fgb, შესაბამისობას a → gfa, b → fgb ჩაკეტვას უწოდებენ, ხოლო ელემენტს, რომლისთვის gfa = a ან fgb = b, ჩაკეტილ ელემენტს. თეორემა თუ ასახვები f: A → B, g: B → A გალუას თანადობაა, მაშინ A-ს ჩაკეტილ ელემენტთა ქვესიმრავლე B-ს ჩაკეტილ ელემენტთა ქვესიმრავლის იზომორფულია

მტკიცება იზომორფიზმს ამყარებს ასახვები f და g. ჩაკეტილს ჩაკეტილი შეესაბამება, fgfa = fa და gfgb = gb.

ოპერაციები დალაგებულ სიმრავლეში

ვთქვათ A დალაგებული სიმრავლეა. განსაზღვრება ორი ელემენტის x და y-ის გაერთიანება x ⋁ y ვუწოდოთ A-ს ისეთ ელემენტს, რომლისათვისაც სამართლიანია u > x და u > y ⇒ u > x ⋁ y ასევე განიმარტება მისი ორადული ცნებაც

განსაზღვრება ორი ელემენტის x და y-ის თანაკვეთა x ⋀ y ვუწოდოთ A-ს ისეთ ელემენტს, რომლისათვისაც სამართლიანია u < x და u < y ⇒ u < x ⋀ y