User:GevorgNikogosyan

Բազմաթիվ վերլուծություններով, Հերմայթ ինտերպոլացիան', որը կոչված է Չարլզ Հերմայթի անվամբ, ընդմիջարկման/ ընդմիջարկվող տվյալների մեթոդ է, որպես բազմիմաստ ֆունկցիա. Ստացված Հերմայթ բազիմաստը սերտորեն կապված է Նյուտոնի բազիմաստ ֆունկցիայի հետ, այդ երկու դեպքերն էլ ստացվել են հաշվարկի բաժանված տարբերություններից:

Հակառակ Նյուտոնի ընդմիջարկման, Հերմայթ ընդմիջարկումը մատնանշում է դտարկված արժեքի անհայտ ֆունկցիան, և դրա առաջին ածանցյալներից m -ի դիտարկված արժեքը: Սա նշանակում է, որ n(m + 1)արժեքները

${\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}),\\(x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}'),\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{(m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matrix}}$

ավելի հայտնի են, քան առաջին n- ի արժեքները, որոնք պահանջվում են Նյուտոնի ընդմիջարկման համար. Ստացված բազիմաստը կարող է ունենեալ n-ի ամենաբարձր աստիճանը (m + 1) − 1,այն ժամանակ, երբ որ Նյուտոնի բազմիմաստը ունի մաքսիմում ստիճանn − 1. (Ընդհանոր առմամաբ, m-ը ֆիքսված արժեքի կարիք չունի քանի որ որոշ միավորներ ունեն ավելի շատ ածանցյալներ քան մյուսները:Այս դեպքում ստացված բազիմաստը կարող է ունենեալ N աստիճանը  − 1, with N-ը ստացված միավորների թիվն է.)

Օգտագործում

Պարզ դեպք

Երբ օգտագործում ենք հաշվարկի բաժանված տարբերությունները, f ֆունկցիայի Հերմայթ բազիմաստը,առաջին քայլը m'-ի ամեն մի միավորի կրկնօրինակումն է:(Այստեղ մենք նկատի ունենեք <մաթ>-ի սրզագույն դեպքը m = 1</math> բոլոր միավորների համար.) Այնուամենայնիվ տրված $n+1$ միավորները $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$,և արժեքները $f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})$ և $f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots ,f'(x_{n})$ f ֆունկցիայի համար, որը մեք ցանկանում ենք ընդմիջարկել, մենք ստեղծում ենք նոր տվյալների բազա:

$z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}$

ինչպիսիք են

$z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}.$

Այժմ մենք կառուցում ենք Բաժանված տարբերություններ/ բաժանված տարբերությունների աղյուսակ $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}$ միավորների համար. Այնուամենայնիվ, որոշ բաժանված տարբերությունների համար՝

$z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}$

որը ընդգծված է! Այս դեպքում ՚ՙբաժանված տարբերությունը փոխարինում ենք $f'(z_{i})$-ով.Մնացացը նորմալ ձևով են հաշվարկվում:

Ընդհանուր դեպք

Ընդհանուր դեպքը ենթադրում է,որ տվյալ միավորը $x_{i}$ ունի k ածանցյալներ.Այնուհետև տվյալների բազան <մաթ>z_0, z_1, \ldots, z_{N}</math> պարունակում է k միօրինակ պատճեները $x_{i}$.Երբ կառուցում են ցուցակը բաժանված տարբերությունները $j=2,3,\ldots ,k$-ի նման արժեքները կարող են հաշվարկվել որպես

${\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!}}.$

Օրինակ

$f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f''(x_{i})}{2}}$

$f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6}}$

և այլն:

Օրինակ

Հաշվի առնելով $f(x)=x^{8}+1$ ֆունկցիան, գնահատելով ֆունկցիան և և դրա առաջին երկու ածանցյալները $x\in \{-1,0,1\}$, մենք ստանում են ք հետևյալ տվյալը:

x	ƒ(x)	ƒ'(x)	ƒ''(x)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

Քանի որ մենք ունենք երկու ածանցյալներ, որոնց հետ պիտի աշխատենք, մենք կառուցում ենք հետևյալ բանաձևը՝ $\{z_{i}\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}$. Մեր բաժանած տարբերությունների աղյուսակը հետևյալն է:

${\begin{matrix}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1}}=-8&&&&&&&\\z_{1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})}{1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_{3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_{1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac {f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}=0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}=0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5},z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_{6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1}}=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''(z_{7})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{8})}{1}}=8&&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&&\\\end{matrix}}$

and the generated polynomial is

${\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\\&\quad {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}$

Վերցնելով իր գործակիցները շեղակի բաժանաված տարբերությունների աղյուսակից,և բազմապատկելով k-ով $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i})$ գործակցով,կստանանք Նյուտոնի գործակիցը առաջանալու դեպքում:

Սխալ

Հաշվարկված բազիմաստը անվանենք H-ով և օրիգինալ ֆունկցիան f-ով. Գնահատելով միավորը հետևյալ կերպ $x\in [x_{0},x_{n}]$, սխալ ֆունկցիան հետևյալն է.

$f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_{i}}$

որտեղc-ն անհայտ է այդ շարքում $[x_{0},x_{N}]$, K-ն միավորների տվյալի ամբողջական թիվն է գումարած մեկը, and $k_{i}$ ածանցյալների թիվն է , որը հայտնի է ամնեի մի $x_{i}$-ում գումարած մեկ:

Նայել նույնպես

• Հերմայթի խորհանարդներ
• Նյուտոնի օրենքներ, նաև հայտնի վերջավոր տարբերություններ
• Նեվիլի սխեմա
• Բազմիմաստ ընդմիջարկում
• [[Ընդմիջարկման բազմիմաստի շարքյին բազիմաստ
• Բրեստեյնից բազիմաստի ընդմիջարկում
• Չինական թեորեմ/ ծրագրեր

Առնչություններ

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2004). Numerical Analysis. Belmont: Brooks/Cole.

Հղումներ

• Hermites Interpolating Polynomial at Mathworld

Category:Interpolation Category:Finite differences Category:Factorial and binomial topics