English: Two geometrical methods for determining sounding lengths of piano strings.

From Carl Kützing. Theoretisch-praktisches Handbuch der Fortepiano-Baukunst. J. F. J. Dalp. Bern und Chur, 1833. p.20-21, Tab. 1, Fig.4 (in black in drawing:

"Noch eine Art, die Verhältnisse der Saitenlängen innerhalb einer Oktave zu finden, ist folgende,**) siehe Fig. 8. [20] Die Linien a, b, berühren sich in c unter einem Winkel von 45 Grad ; man nehme die Länge, welche man messen will und trage sie von b bis c ; theile sie in 2 gleiche Theile, welches die Oktave ausmacht ; von diesem Punkt (d) ziehe man die Linie nach e, welche in 12 gleiche Theile eingetheilt wird ; die Länge der Linie d, e, zu derjenig en d , b, gerechnet, macht die Länge aus von e bis a, von welchem Punkte die eingetheilten 12 Theile der Linie d, e, auf die Linie d, b, getragen werden, welche die Verhältnisse der Saitenlängen in der angenommen Oktave ausmachen. Zur Erhaltung der kürzern oder längern Saitenlängen muss man hier ebenfalls die Längen halbiren oder verdoppeln, bis man alle Längen erhalten hat. Wird nach dieser Methode sehr accurat getheilt, so erhält man auch richtige Verhältnisse, die man ebenfalls, so wie diejenigen durch den Proportionalzirkel zu Guitarrenmensur gebrauchen kann.

"Auch kann man sich diese Längen auf den Proportionalzirkel trägen, wie in Fig. 5 angegeben, um sie nicht bei jeder kleinen Veränderung wieder eintheilen zu müssen.

"Da man bei der Saitenmessung eine Normallänge haben muss, die sich wieder nach der Festungkeit der Saiten richtet, so ist es nöthig, vorher die Festigkeit derselben zu untersuchen.

"**) Chladni in seiner Akustik, Tbl.1, S.40, erwähnt in der Anmerkung, dass Moses Mendelsohn in Marpurgs historisch-kritischen Beitragen zur Aufnahme der Musik im 2. Stück des 5. Bandes gezeigt, wie das Verhältniss der Töne durch Linien ausgebrückt werden könne. Da ich nun dieses Werk nicht benussen konnte und die Idee mir ganz für den Praktiker geeignet schen, versuchte ich selbst, diese Verhältnisse auf irgend eine Art auszumitteln, und es gelang mir, sie auf eine so einfache Art zu finden."[21]"

This is reproduced, uncredited, by Giacomo Sievers, Il pianoforte; Guida Pratica per Costruttori, Accordatori, Dilettanti e Possessori di Pianoforti Stabilimento Tipografico Ghio, Napoli 1868. p.103-104):

"Il Diagramma per lo spartimento delle corde

Oggidi col Diagramma ogni fabbricante può accrescere o diminuire la lunghezza delle sue corde di ottava in ottava, e fare le minime spartazioni della loro lunghezza esattamente ed a suo piacimento ; è questo il miglior metodo pratico per la moderna costruzione dei pianoforti, come si vede dall' esempio qui appresso Atl. Tav. 3, fig.210:

"1 Si tira una linea q r, come base d'indefinita lunghezza

"2 Da q si tiri un'altra linea verso s, facendo un angolo di quarto buono (45 gradi) con la base ; si dà a questa linea la lunghezza di una corda qualunque (ammettiamo che sia La ottava sopra il corista, di 194 m.m.)

"3° Si divida questa linea in t in due parti eguali ; la melà corrisponderà al 2° La sopra corista.

"4° Si tiri la linea da t con la base in squadro sull' u, e si divida questa linea in 12 parti eguali.

"5° Si prenda la somma di qt, tu, uq, si stenda da q verso r, fissando in questo modo il punto v.

"6° Da v, come da un centro, si tirino tutte le linee in guisa di raggi a traverso i 12 punti fin sulla linea q s, formando cosi le crescenti lunghezze di ogni nota di quell'ottava.

"Per allungare le corde negli acuti, il punto t scende verso q. Si ripete l'istessa teoria, ed ecco le lunghezze arrivano insensibilmente ad equagliarsi a q, con l'ottava più bassa.

From Samuel Wolfenden A Treatise on the Art of Pianoforte Construction Unwin Brothers, London, 1916 (revised edition, 1977) p.25-27 (simplified to show only construction of half octave between 102 and 192.5 located by 51.5° in red, 35:13 in blue):

"Take a sheet of drawing paper, say, 60 in. by 30 in., and carefully dry the same. This precaution against shrinkage should always be taken. The paper should be of good quality, as cheap papers quickly deteriorate. At about 9 in. from the top edge draw a baseline ab. This may be of indefinite length. From this, at a, draw a line making an angle of 45 deg. with ab, and produce this line upward and downward to the edges of the paper (line cd). On this line, from a, measure upward very accurately 10.2 cm., and define the point c. From this point, downward, measure 5.4 cm. (10.2 is already fixed), 19.25, 36.40, and 68.80, and from each of these measure-points rule lines exactly parallel with ab. Now, from c draw another line ce, making an angle of 51.5 deg. with the parallels, and where this line cuts each parallel make a fine needle-prick. The lengths of each parallel is to the length to be divided for semitones, as 35:13. From each of the measured points on cd, drop a perpendicular reaching to the next parallel, and rectangular to it. Divide each perpendicular into twelve equal parts. This must be done with extreme care. Now rule fine lines from the needle-marks made in ce, through the divisions in the perpendiculars, and reaching to cd. If this work is very carefully done the lengths are defined, measuring from c upon cd, for all the notes in the four principal octaves, graded as per the "New Westphalia Gauge," for equal tension."

Added to the original drawings iare a construction on cb of the mean proportionals of the octaves, half-circles showing the length of ab, perpendicular lines from vi and 6 showing similar triangles on vi a, string lengths from Kützing (black), Sievers (gray) and Wolfenden (red), and enlarged detail showing the difference between Wolfenden's methods.